Первое семейство специальных автомобилей-шасси Брянского завода ведет историю от правительственного постановления о создании мобильного зенитно-ракетного комплекса (ЗРК) с шифром «Эллипс», который вскоре заменили на более известный код «Оса». Для повышения оперативности и мобильности все его элементы предписывалось монтировать на принципиально новых плавающих шасси, которых к тому времени ни в Советском Союзе, ни за границей не существовало.
Техническое задание на эти необычные автомобили разработали в 1961 году, и в дальнейшем одновременно на нескольких предприятиях начались длительные поиски оптимальных конструкций будущей ракетной системы и наиболее приемлемой для нее плавающей машины, занявшие еще несколько лет. После неудач, постигших эти заводы, в 1966 году было принято решение о переносе проектных работ по амфибиям в Брянск. Первыми образцами с узкой одноместной кабиной, облегченными корпусами и крайними управляемыми мостами стали заднемоторные шасси БАЗ-937 для пусковой установки, БАЗ-938 для размещения средств технического обслуживания и БАЗ-939 для транспортно-заряжающей машины (ТЗМ).

В процессе испытаний и доработок эти индексы дополнили цифрой 5, и впоследствии на серийной продукции они были изменены на БАЗ-5937, БАЗ-5938 и БАЗ-5939 соответственно. Прототипы всех трех машин построили в 1969 – 1970 годах, серийное производство началось в 1972-м.
Главной особенностью и наиболее трудоемкой частью машин серии 5937/5939 являлись первые в СССР водоизмещающие корпуса полузакрытого типа с гладким днищем, давшие свое название всей системе корпусных автомобилей.
В их состав входило более 1 000 стальных элементов, вручную сопряженных между собой сваркой и уплотненных губчатой резиной, оклеенной водонепроницаемой тканью. Для дополнительного повышения прочности их оборудовали встроенной лонжеронной рамой из стальных профилей, усилителями и ребрами жесткости. Наружная обшивка выполнялась из гофрированного металла.
Готовые изделия проходили проверку на герметичность путем пролива сварных швов керосином, а затем их заполняли водой в специальной ванне. Комплектные шасси испытывали в дождевой камере и на местных водоемах. Первые выпуски оборудовали укороченными корпусами со срезанной передней частью и плоской лобовой панелью. Серийная продукция имела удлиненную остроносую переднюю часть корпуса со встроенными светомаскировочными фарами.
В 1973 году появился комплекс «Оса-АК», в который входили боевые машины 9А33БМ2 с шестью ракетами в двух транспортно-пусковых контейнерах с дальностью стрельбы до 10 км, новым оборудованием наведения, улучшенной помехозащищенностью и уменьшенной массой аппаратуры. В связи с тем, что он не мог эффективно вести борьбу с боевыми вертолетами, в 1975 году началась работа по его модернизации.
В 1977 году обновленный вариант предыдущего ЗРК «Оса-АК», способный поражать цели на высоте до 25 м, прошел первые испытания, а его доработанный вариант в сентябре-декабре 1979-го успешно преодолел цикл государственных испытаний. В 1980 году он был принят на вооружение как ЗРК «Оса-АКМ» на мобильной пусковой установке 9А33БМ3 и шестью ракетами, приспособленными для стрельбы по низколетящим целям.
Серийный выпуск комплекса «Оса» был остановлен в 1990 году, когда приток военных заказов иссяк. К этому времени он уже являлся основным колесным зенитно-ракетным средством ПВО Советской армии и поставлялся в 25 стран под наименованиями «Оса» или «Ромб».
Впоследствии на базе последнего ЗРК «Оса-АКМ» были созданы модернизированные варианты комплексов с обновленными пусковыми установками на доработанных или реконструированных шасси БАЗ-5937, выполненных в соответствии с изменившимися требованиями ведения боевых действий.
В России создан модернизированный вариант комплекса «Оса-АКМ» на доработанной пусковой установке 9А33БМ3-1 с новыми средствами управления, обнаружения, поражения и самозащиты, приспособленный для стрельбы по малоразмерным низколетящим целям, перемещающимся на небольших скоростях. Преемника в классе плавающих зенитных установок у «Осы» до сих пор так и не появилось.